2009年2月10日
设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：( Q - P1 ) × ( P2 - P1 ) = 0 且 Q 在以 P1，P2为对角顶点的矩形内。前者保证Q点在直线P1P2上，后者是保证Q点不在线段P1P2的延长线或反向延长线上，对于这一步骤的判断可以用以下过程实现：
ON-SEGMENT(pi,pj,pk)
if min(xi,xj) <= xk <= max(xi,xj) and min(yi,yj) <= yk <= max(yi,yj)
then return true;
else return false;
特别要注意的是，由于需要考虑水平线段和垂直线段两种特殊情况，min(xi,xj)<=xk<=max(xi,xj)和min(yi,yj)<=yk<=max(yi,yj)两个条件必须同时满足才能返回真值。
原文地址： http://dev.gameres.com/Program/Abstract/Geometry.htm
posted @ 2009-02-10 10:57 忘我和尚 阅读(850) 评论(0)
编辑
2008年11月4日
设空间中的三点为M1,M2,M3,分别用矢量a,b表示方向向量M1M2和M1M3,则：
1. M3到M1,M2连线的距离为|axb|/|a|，这里|.|表示向量的范数，axb表示a,b的叉乘。
2. 垂足为a-((a,b)/(a,a))a，这里(a,b)表示向量a,b的内积。
函数如下：
float GetDistance(tagCVector pt1, tagCVector pt2, tagCVector pt3)
{
tagCVector pta = pt3 - pt1;
tagCVector ptb = pt2 - pt1;
tagCVector ptc = pta^ptb;
float fDistance= sqrtf((ptc*ptc)/(ptb*ptb));
return fDistance;
}
采用这个办法计算量很小。感谢CSDN的Riemann在CSDN上提供此算法。
http://topic.csdn.net/t/20030505/09/1740223.html
posted @ 2008-11-04 17:09 忘我和尚 阅读(680) 评论(1)
编辑下面的说明只注重对概念的表述和对实际操作过程的说明，并不进行严格的证明。
一般的贝塞尔曲线：
对给定的 n+1 个点，可以作出 n 阶的贝塞尔曲线。其中最前和最后这两个点在曲线上，其余 n-1 个中间点是控制点，主要用于控制曲线的形状，不一定在曲线上。
假如给定的 n+1 个点是 (x0,y0),...,(xn,yn), 以 t 作为参数，则生成的曲线上的所有点可以表示如下：
n
x = ∑ C(n,i) *t^i *(1-t)^(n-i) *xi
i=0
n
y = ∑ C(n,i) *t^i *(1-t)^(n-i) *yi
i=0
其中 x,y 分别是生成的曲线上的点的 横坐标 和 纵坐标。
t 是参数，其有效范围是 [0，1]。
C(n,i)就是组合数，比如 C(3,1) = 3。
实用 3 阶贝塞尔曲线：
实际应用中，常用 3 阶的贝塞尔曲线，也就是要对 4 个点进行计算。
设 已知 的4点为 p0(x0,y0),p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3),其中 0 和 3 是端点， 1，2是控制点，则 该曲线上的所有点表示为：
x = (1-t)^3 *x0 + 3*t*(1-t)^2 *x1 + 3*t^2*(1-t) *x2 + t^3 *x3
y = (1-t)^3 *y0 + 3*t*(1-t)^2 *y1 + 3*t^2*(1-t) *y2 + t^3 *y3
其中 0 <= t <= 1.
直接的简单实现：
按照公式，对每个t，代入式子就可以得到曲线上对应点的坐标了。当然具体实现时，可根据适当的间隔取 t 值，然后用直线将这些值对应的点连起来就是了。
类似于多项式的计算，在计算机上计算的时候，可以用 德卡斯特里奥算法 来求出，而不必直接计算高次幂。
设四个控制顶点是p0,p1,p2,p3，对每个具体的 t,可以做出下面的表：
p00
p10 p11
p20 p21 p22
p30 p31 p32 p33
其中：
p00 = p0
p10 = p1
p20 = p2
p30 = p3
p11 = p00*(1-t) + p10*t
p21 = p10*(1-t) + p20*t
p31 = p20*(1-t) + p30*t
p22 = p11*(1-t) + p21*t
p32 = p21*(1-t) + p31*t
p33 = p22*(1-t) + p32*t
通过验证可以知道，p33就是要求的值。
代码略。
简单实现遇到的问题：
上面说的简单实现，t 的间距不好确定。因为曲线的形状可能千奇百怪，间隔太大则误差太大，太小的话则效率太低，难以确定一个对所有情况都合适的间隔值。而在实际应用中，则是用 递归 的方法来解决这个问题的。
实际中的递归处理：
回头看上面求值的那个算法，当取 t=1/2 时， t = 1-t = 1/2，计算过程可以简化如下：
p00
p10 p11
p20 p21 p22
p30 p31 p32 p33
其中：
pi0跟上面一样，分别就是那4个输入点p0,p1,p2,p3
pij = [ p(i-1)(j-1) + p(i-1)j ] / 2 (简化的就是这个计算过程)
显然，p33就是 t=1/2 时所对应曲线上的点。
而且，
如果以p00,p11,p22,p33为4个新的输入点，生成新的3阶贝塞尔曲线，则该曲线跟原来p0~p3生成的曲线在t∈[0，1/2]的部分“完全重合”。
