算法探讨——再议经典算法问题：求最大子序列和、绝对值最大子序列和以及其区间

算法探讨——再议经典算法问题：求最大子序列和、绝对值最大子序列和以及其区间

给定任一数字序列，如{-5,4,-20,16,-2,-3}，求出其最大子序列和，绝对值最大子序列和以及对应的区间，在这个例子中，人肉计算可知最大子序列和为16，区间为[3,3)（数组下标从0开始），而绝对值最大子序列和为-21，区间为[0,2]，那么算法如何描述及实现呢？

在经典的书籍《数据结构与算法分析 C语言描述第2版》中，作者向我们介绍了求最大子序列和的三种算法，时间复杂度从O(N³)下降到O(N)，求最大子序列和绝对值和以及其区间是我对这一问题的扩展。

一、求最大子序列和以及其区间

求最大子序列和的算法相对简单，并且可以使用动态规划思想将其优化至O(N)，问题的关键：前面已输入的元素的计算结果并不依赖于后面的输入。

O(N²)算法：N次遍历数组，对其中每一个元素，继续遍历后续每个元素，并求和，如发现比当前和大，替换当前和。

C/C++实现：

int maxsub(const int a[],int n)
{
    int sum, max, i, j, begin, end;
    begin = end = max = 0;
    for(i = 0;i < n;i++)
    {
        sum = 0;
        for(j = i;j<n;j++)
        {
            sum += a[j];
            printf("the second level loop %d loop sum = %d\n",j,sum);
            printf("the second level loop %d loop max = %d\n",j,max);
            if(sum > max)
            {
                max = sum;
                begin = i;
                end = j;
            }
        }
        printf("the %d loop max = %d\n",i+1,max);
    }
    printf("--final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
    return max;
}

循环结束后，begin与end的值即对应的区间。
O(N)算法：动态规划思想，也称on-line algorithm，即，对于每一个输入，不依赖于后面输入，对每一个输入，立即计算其结果，并保存，然后与后续输入进行比较，若和变大，产生更新。若和总是变小，丢弃之前的输入。

C/C++实现：

int maxsublinear(const int a[], int n)
{
    int i;
    int curSum = 0; /* 当前序列和 */
    int maxSum = 0; /* 最大序列和 */
    int begin = end = 0;

    /* 开始循环求子序列和 */
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        curSum = curSum + a[i];

        /* 与最大子序列和比较，更新最大子序列和 */
        if (curSum > maxSum)
        {
            maxSum = curSum;
            end = i;
        }

        /* 动态规划部分，舍弃当前和为负的子序列 */
        if (curSum < 0)
        {
            curSum = 0;
            begin = i + 1 >= n ? i : i + 1;
        }
    }
    return maxSum;
}

二、求绝对值最大子序列和以及对应的区间

这个问题是对第一个问题的扩展，但比第一个问题复杂的多，O(N²)算法基本相同，也容易理解。

O(N2) C/C++实现：

int maxabssub(const int a[],int n)
{
    int sum, max, i, j, begin, end;
    begin = end = max = 0;
    for(i = 0;i < n;i++)
    {
        sum = 0;
        for(j = i;j<n;j++)
        {
            sum += a[j];
            printf("the second level loop %d loop sum = %d\n",j,sum);
            printf("the second level loop %d loop max = %d\n",j,max);
            if(abs(sum) > max)
            {
                max = abs(sum);
                begin = i;
                end = j;
            }
        }
        printf("the %d loop max = %d\n",i+1,max);
    }
    printf("--final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
    return max;
}

O(N)算法，在竹风抚荷塘同学的帮助下，顺利求解。思路其实很简单，绝对值最大的子序列和，要么是和最大，要么是和最小，类似问题一中O(N)算法，同时求每一个输入可能得到的最大和或最小和，再比较即可。下面是C/C++代码实现：

 

int maxAbsSubLinear(int a[], int n)
{
    int posiSum, negaSum, curSum, max, j, begin, end, posiBegin, posiEnd, negaBegin, negaEnd, flag;
    posiSum = negaSum = curSum = max = j = begin = end = posiBegin = posiEnd = negaBegin = negaEnd = flag = 0;

    for(j = 0;j < n;j++)
    {
        if(posiSum + a[j] > a[j])
        {
            posiSum += a[j];
        }
        else
        {
            posiSum = a[j];
            posiBegin = j;
        }
        if(negaSum + a[j] < a[j])
        {
            negaSum += a[j];
        }
        else
        {
            negaSum = a[j];
            negaBegin = j;
        }

        if( abs(posiSum) > abs(negaSum) )
        {
            curSum = abs(posiSum);
            posiEnd = j;
            flag = 1;
        }
        else
        {
            curSum =  abs(negaSum);
            negaEnd = j;
            flag = 0;
        }

        if(curSum > max)
        {
            max = curSum;
            if(flag)
            {
                begin = posiBegin;
                end = posiEnd;
            }
            else
            {
                begin = negaBegin;
                end = negaEnd;
            }
        }

        printf("IN ABS LINEAR -- LOOP %d, posiSum = %d, negaSum = %d, curSum = %d, max=%d, begin = %d, end = %d\n", j+1, posiSum, negaSum, curSum, max, begin, end);
    }

    printf("--LINEAR final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
    return max;
}

 

再次感谢竹风抚荷塘同学。