题解 P4609 【[FJOI2016]建筑师】


一道有趣的组合数学题

这道题其实挺水的至少没有黑题难度(滑稽 只要学过点组合数学就没太大问题。不过思路还是比较巧妙,值得一做。

讲思路吧。

题意如图:(建筑编号从左到右依次排列)

解释一下,画红框的是表示这个红框内的建筑都由一个最高建筑“代表”。比如从左看,111号建筑挡住了2,32,32,3号建筑,直到444号建筑比111号高,444号建筑再成为下一群建筑的代表。

那么给定从最左边看能看到AAA个建筑,从最右边看能看到BBB个建筑,如何求方案数呢?

接下来就是本题的核心了。

我们会发现,当一群数量为kkk的建筑的“代表”确定后,除去代表的剩下k−1k-1k1 个建筑就可以随意排列,那么就有(k−1)!(k-1)!(k1)! 种方案,那么就等价于这kkk个建筑的圆排列。除去整个序列中最高的那个建筑,左边看有A−1A-1A1 群建筑,右边看有B−1B-1B1 群建筑。总共有A+B−2A+B-2A+B2 群建筑,那么也就有A+B−2A+B-2A+B2 个圆排列。 然后。。。有没有想到第一类斯特林数!在这题中就是nnn 个人,A+B−2A+B-2A+B2 张桌子。然后你再想,在总共A+B−2A+B-2A+B2 群建筑中选A−1A-1A1 群放到最高建筑的左边,不就有CA+B−2A−1C_{A+B-2}^{A-1}CA+B2A1 种方案吗!所以总方案是CA+B−2A−1∗Sn−1A+B−2C_{A+B-2}^{A-1}*S_{n-1}^{A+B-2}CA+B2A1​∗Sn−1A+B−2​

优秀的O(1)O(1)O(1)询问。

CCC和SSS预处理一下就珂以辣!

你问我什么是斯特林数?出门转百度or组合数学其实是我懒得写了


上代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
int T,n,a,b;
long long s[50002][202],c[102][202];//要开long long别问我怎么知道的
inline int rd(){//辣鸡快读,大佬勿喷
    int ans=0,flag=1;
    char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')flag=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')ans=ans*10+ch-48,ch=getchar();
    return ans*flag;
}
int main(){
    T=rd();
    for(register int i=0;i<=200;i++){
        c[i][0]=1;
    }
    for(register int i=1;i<=200;i++){
        for(register int j=1;j<=i;j++){
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;//记得取模
        }
    }
    memset(s,0,sizeof(s));
    s[0][0]=1;
    for(register int i=1;i<=5e4;i++){
        for(register int j=1;j<=200;j++){
            s[i][j]=(s[i-1][j-1]%mod+s[i-1][j]*(i-1)%mod)%mod;
        }
    }
    while(T--){
        n=rd(),a=rd(),b=rd();
        printf("%lld\n",(c[a+b-2][a-1]*s[n-1][a+b-2])%mod);
    }
    return 0;
}

切黑题,啦啦啦

posted @ 2018-10-15 20:49  ZenyZ  阅读(127)  评论(0编辑  收藏  举报