[HNOI2002]跳蚤
题目描述
Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后，显然一共有MN张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。
输入输出格式
输入格式：
输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数N和M。
输出格式：
输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数。
1≤M≤108，1≤N≤M，且MN≤1016。
输入输出样例
2 4
12
说明
这12张卡片分别是：
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)
题解：
可以说
a1*1+a2*2+a3*3.....+am*m=1有解的方案数
就是GCD(a1,a2,...,am)=1
所以肯定有很多a=0，不为0的最多有n+1个
总方案就是m^n，由容斥原理
先将含有n个1个素数因子的数的方案数减去，再加去n个含有2个素数因子的方案，再减去3个，加上4个的方案。
直到cnt个(素数因子的数量)
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 using namespace std; 6 typedef long long lol; 7 lol n,m,ans; 8 int cnt,prime[1000001]; 9 lol pow(lol x,lol y) 10 { 11 lol res=1; 12 while (y) 13 { 14 if (y%2==1) 15 res*=x; 16 x*=x; 17 y/=2; 18 } 19 return res; 20 } 21 void dfs(lol goal,lol x,lol c,lol num) 22 { 23 24 if (num>goal) 25 { 26 if (goal%2==1) 27 ans-=pow(m/c,n); 28 else ans+=pow(m/c,n); 29 return; 30 31 }if (x>cnt) return; 32 dfs(goal,x+1,c*prime[x],num+1); 33 dfs(goal,x+1,c,num); 34 } 35 int main() 36 {int i; 37 cin>>n>>m; 38 if (m==0) 39 { 40 cout<<0; 41 return 0; 42 } 43 ans=pow(m,n); 44 lol x=m; 45 for (i=2;i*i<=x;i++) 46 { 47 if (x%i==0) 48 { 49 cnt++; 50 prime[cnt]=i; 51 while (x%i==0) x/=i; 52 } 53 } 54 if (x-1) 55 { 56 cnt++; 57 prime[cnt]=x; 58 } 59 for (i=1;i<=cnt;i++) 60 { 61 dfs(i,1,1,1); 62 } 63 cout<<ans; 64 }
