（原文作者：李颍伯）
黄金分割比这个数有许多十分有趣并且有实用价值的性质，现在让我们看一看它在计算机上的一个应用。
我们知道现实世界的许多现象是可以用计算机来模拟的，关键在于要有能够精确描述被模拟对象的数学模型。如果数学模型能够逼真地反映客观现象，那么就可能用计算机进行计算来代替试验。
在概率论中，将试验的结果称为事件。在每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件）。经过大量试验得到的某一种结果出现的可能性称为该事件的概率。当试验的各种可能结果出现的机会相等时，则称它们是等概率的。事实上许多试验都是这样的，例如有十个阄，每个阄代表一种结果，随便抓一个，那么十种结果出现的可能性都是十分之一，即概率相等。怎样用计算机模拟这一现象呢，通常是令计算机在某个数据范围内产生一个数，它取这个范围内的任何数值的相等。如何才能得到这样的数？我们可以利用黄金分割比来实现。具体方法是这样的：
为简单，我们用0.618来表示黄金分割比并用图来表示计算过程。设P和Q的间隔为1.0，即P=0,Q=1，以后产生的每一个数都在此区间内。
所生成的前7个数分别以字母A、B、C、D、E、F、G来表示。每个数的计算方法都极其简单：用它的序号乘以0.618，然后取其小数部分。前7个数的计算结果如下：
A=0.618 B=0.236 C=0.854 D=0.472
E=0.09 F=0.708 G=0.326
我们来分析它们的分布规律，A和B将P、Q区间分为三段，其中BA=AQ=0.382,是较长的两段，PB=0.236，较短。接下来的两个数C和D都落在较长的两段内，并把P、Q区间分隔成五段，有两种长度。PB、BD和AC较长，等于0.236，DA和CQ是较短的两段，等于0.146。后面的三个数 E、F和G分别填入三个较长的区间，并进一步把P、Q区间分为八段，其中五段较长，长度是0.146，三段较短，长度为0.09。可以预料，继续出现的五个数，一定会插在五个较长的间隔内，并把整个区间分成十三段，有八段较长，五段较短。以后所生成的数将都按这个原则，补充到P、Q区间内。由于每次新生成的数都会插到间隔较大的区间，所以总的趋势是所有的数将均匀分布在从P到Q的整个区间。这就好象是各个数出现的机会相等，于是就可以用来模拟等概率的事件了。不过用这样算法产生的数，并非真正的随机数（只是均匀分布在0到1这个范围内而已），所以称为“伪随机数”。现在的计算机多配有随机函数，用于产生随机数，使用的方法是很多的。本文只是为了说明黄金分割比的一种用途。
规定规则
数学是通过人为性的若干规定获得规则的，这个规则不是自然规则，而是人为性制定的规则。具有相当大的任意性近似性相似性，即它具有一定的有效适用范围和前提条件。数学某种规则一旦被制定规定，那么就一定具有某种特点特征。数学家们首先通过学习这些数学上的规则规定，然后再非常熟练的掌握应用它，再其后就是改造或重新制造新的数学规则规定，就是这样使数学知识体系逐渐丰富膨胀起来。
数学家们一般认为数学是建立在一系列自明性原则的前提基础之上的，数学家的任务是尽可能完全地发现由这些原则所得出的结论。按照人为所规定的规则，再去证明又有什么意义呢？所谓的证明是按照人为性规定的规则去证明，而初起的那个人为性规定规则是没有或无法证明的。可靠与不可靠的关键是取决于真实事实，最终都必须以真实自然为判决，而不是取决于纸上的证明。
现在的数学已经严重的陷入因为自我设计所规定的规则游戏的旋涡之中而无法自拔，除了数学的实际应用中的那部分功用以外。我们的行为应该按照真实自然行事活动，而不是我们那些人为性的各种规定，规定性恰好容易导致背离自然。而所有对于自然的误会，恰恰是在自明性这个具有前提性的基础范围出现发生了问题。在数学规定之前没有什么对错，一旦规定之后则有了对错，因为有了人为性的规定，就是有了衡量对错的标准。而人们在从事数学活动中渐渐淡忘在事先中所曾经规定了的东西，反倒被其规定所影响。数学家是不管前提基础方面所存在的问题，这些方面已经超出数学家所考虑的范围，否则，数学家就无法前进一步，或者数学家就已经再也不是数学家了。
数学上每一项对自身规定都是对其它的否定。数学只在规定范围内是相容的，一旦扩大范围则便是无法相容的。欧氏几何对于直线、角、点、平行是模糊定义的，因此距离相等的曲线也可以平行，过两点也可以有很多直线，点也可以是一堆点。
模型化
模型化说明人们在解决处理实际问题时的一种无奈的技术性措施，反映了人类的聪明与机智，又反映了由此而产生的负面效应作用。数学本身就是一门应用技术，不具有解释世界的功能作用。即避开了产生事物本质原因，一味地追求建模，而偏离正常正确思考问题的途径方向。模型化是像什么，我们首先应该解决是什么，然后再为什么类比作了什么。在认识上是绝不可以模型化的。
是数学取代了物质存在的某种物理意义，使物质也具有符号化的倾向。数学模型起到了任意性的作用，因为物理学的无能为力才有效。那么多的假设模型，恰恰符合了数学计算需要，因此在实际应用中数学才发挥了卓越强大的作用，显示了数学的神奇魅力。谁要想在物理学领域取得突破性进展，必须得掌握多鲜为人知的数学技巧。尤其是当代有关混沌现象研究所应用的非线性数学得到空前发展与应用而且行之有效，并且越来越复杂化并成为一种思潮，但它并不是科学发展的最有效的唯一途径。
为什么我们人类会把一个本来很简单的问题搞成那么一个很复杂的问题呢？把一个复杂的问题化解成简单问题，岂不是更加事半功倍行之有效。理解正确的东西比较容易，理解错误东西却很难。这是一个虚构的迷宫，一直在沿着人为的方向走，也能走出出口，因为出入口的游戏是人事先设定的，这就是在玩数学游戏。数学也有游戏益智功能，离开实际应用也就没有太多的意义，那么也就是说数学也不应该完全脱离实际应用，而应该接受实践事实的检验才更应具有实用价值，即能创造产品财富。
数学是表示具有某种物质性意义的定量符号，不应该认为数学本身是神化知识的符号和象征，不是世界按照数学规律运动而是数学近似接近了世界运动的某些规律。数学是最好的工具，问题是看你怎么用，它有它的前提条件适用范围。
数学物理学所考虑的都是理想化了的量，不是真实而是我们强制性的硬当作了真实，以便解决实际问题，但无法解决认识问题。求平均速度也是为了计算上简便的要求，而人为理想化摩擦处理，加速度到平均减速度的阻力计算显然是比较麻烦的，物理学上有许多是被人故意忽略的东西，从应用角度是划算的。如果不是这样那么在实际的应用中就会相当麻烦的，是为了满足实际需要而假定的，不符合事实的真相而却很实用。数学是属于物质世界的，数学和规律与物质世界是同时存在才具有现实意义，否则则是失效的。
概率统计学等数学方法是帮助人类解决许多现实中的实际应用问题，然而人们却不再关心为什么是这样的追问，这种认识上的问题永远无法求解。对于为什么可以是圆的，而不可以是方的。数学只在人为性理想的范围内有效，就是在人为性理想范围内也只能是属于一种极特殊的情况，不具有普遍意义。就是我们按照想象中的情况来制造某些自然中所没有几何图形，那么只能是相似近似的，从技术上来讲我们永远也达不到理想的情况，总是存在或大或小的一定误差。
有些数学形式与物质组成的理论无关，我们不知道其物理意义所以数学才变得莫名其妙。好像数学方法成为主要的了，物理则成为无关紧要的了或倒成了被人遗忘的角落，大家一起重视关注追求数学的魅力。如物理言必谈力学，力学言必谈数学，似乎仿佛数学是解决处理问题的唯一途径。
竟然波尔连自己建立起来的公式中的数学符号所代表的物理内容意义（自旋）是什么都不知道，别人给予补充并遭到讽刺之后又得到普遍承认。又如普朗克连量值是什么自己都不知道，甚至自己都不敢承认自己提出的理论。为什么物理被数学化了，因为物理的很多机理没被人们所理解认识，原因没搞清楚，人们只好借助于数字这个工具来帮助人们解决处理许多实际问题。
1915年11月20日希尔伯特给哥廷根科学院论文中，半开玩笑半认真地说：“物理学对物理学家来说太困难了。”“我们已经改造了数学，下步是改造物理学。再往下就是化学。”是的，这些都是数学家们的伟大胜利，但是，又是物理学家们的伟大失败，又还是人类认识上的伟大悲哀。欧几里德和毕达哥达斯派只不过是按照亚里士多德的逻辑推理形式对于数学进行改造，古柏拉图、毕达哥达斯派的思想观念至今还在影响着人们。这种公理化思想不仅影响数学，至今仍影响决定支配整个科学。希尔伯特是又一现代典范，希尔伯特是偏爱数学的，所以要极力维护数学的存在。
数学公理的前提适用范围
采用公理化建立数学，为什么不采用自然化而更加符合真实事实？换而言之，没有公理化就没有数学体系，公理化是数学理论基础的来源。数学里的公理是人为任意性的，公理只不过是导出结论的逻辑演绎基础而已，是存在有适用范围与前提条件的。所谓的公理化只不过是属于一种前置预设的约定规定的定义，然后再因此而进行演绎推导等后续性活动。
数学公理化并不等于普遍化，公理化只是属于个别案例情况，受到前提条件的制约。我们所有的知识几乎都是相对某一范围，不具有完全普遍的意义，所以公设公理也只能在一定条件下才具有真实可靠的意义。我们暂时先不讨论数学，先讨论数学的前提即存在着的事实，因为误解就发生在前提的事实上。
原理是从公理推导出来的，数学是在前提公理化规定后演绎的。可以在没有理中进行人为性制造理，通过假设假定来进行制造公理，然后通过公理来推导出来原理，然后再由原理而推导出来定理。所有的理都是通过人为性规定各种而推导出来的，而不是真实自然之理。
论证来源于直观事实，将未经证明证实或解释的事实作为假设假定来进行推理论证。在技术上只要是有效都是可行的，可是在认识上却无法行得通。公理也是通过人为性规定的，它并不能够成为检验数学正确与否的标准。于是不得不重新规定制造一个选择性公理来限制原来的公理。
公理化是表达我们意思的一种方法，可以起到没有矛盾的作用，但是本质上的和谐来自我们的直觉想象。形式上的推理在某些方面可以表达很多内容，如希尔伯特所说，点线面的概念可以代表许多事物，同样的表达同一个事物我们可以采用不同的形式。而公理化所表达的只不过是其中一种意思。将逻辑法则认定为真理体系，是对真理的阉割歪曲。数学是人为性规定的一个体系，并不是一个真理体系，所谓的真理只是表现了数学家们的良好愿望而已。数学的生命力的实质并不在于公理化，而在于实际应用上的需要，这才是数学生命力和价值的真正所在。正是数学具有这样的实用功效，并以此为动力推动了数学的发展，并且超越了实际直接应用上的界限。
用数学方法可以推得其它定理，却无法得到公理，这公理不是数学自身的产物，而是数学存在着必不可少的前提，没有公理数学体系就建立不起来。有些情况是这样有些情况又是那样的，我们现在常取舍符合我们人为性要求的，而不顾其它事实，但是对于另些则是无效，这是存在一定的有效性。超越了前提范围，问题就自然会暴露出来，这时我们还得再重新考虑范围以外的问题，当另些问题已解决时这时又出现了悖论问题，于是人们陷入了认识的怪圈之中无法自拔。
我们不应该害怕和反对消除悖论，悖论是一件好事，对我们有所启迪帮助，很容易发现问题的。数学悖论并不是一种危机，而带给人们的却是一种更加完整全面的清醒认识。应该准确地说逻辑只是某种局限的在适用范围内有效，否则产生悖论是很正常必然的。
理发师的故事，前后的前提是不一样的，如果混在一起则为悖论。不只是具有双值逻辑而是具有多值逻辑。它适用的前提基础，适用范围即前提限制，即优先确定在某一区域范围，这是由数学本身的特点所决定的，因为它本身就不是包罗万象全面适用的。即前提是存在即有效只在一定的前提条件下才是有效的。
数学只是在有限的条件范围内有效，这才是数学适用的前提条件。集合悖论产生于前提条件的公理系统，独立性与兼容性和一致性与完全性的同时采用，公理系统与形式系统的逻辑演绎方法无法解决这个问题。
众所周知，目前数学存在的逻辑主义、直觉主义、形式主义、集合论公理化主义、约定主义、实在主义、构造主义等派别。从不同的角度解释了对数学的看法或认识，仍然没有离开数学公理化的前提基础，还是没有人认真从自然真实去解释数学。应该是内容决定了形式，而不是形式决定了内容，这个关系应该澄清的，完全走公理化道路给人以许多误会，即以形式取代内容只是无奈的选择。
应该选择真实主义，因为真实是一切存在的基础，这样就不会偏离数学发展的正确方向。将自然界数学化是一个迷失方向的一种倾向。数学只是对事物现象进行定量描述，并没有对于实质原因进行描述，更不能因为数学存在有效性而取代认识上的先导地位。公理化体系的作用是在对某些原因并不清楚的前提下，以某些众所周知而又无法解释的事实作为公设公理，然后再进行一系列的演绎推理过程，使人们相信由此而推导出来的定理定律或结论是真实可靠的。
中国古人具有很强的数学计算能力，这是众所周知的事实，但是中国人的数学发现与逻辑演绎思想是没有太大关系。《周髀算经》《九章算术》等虽然具有极强的实际应用计算能力，却没有逻辑演绎证明。中国几何是以“非规矩不能定方圆，非准绳不能定曲直”的实用性来定义的，所以中国不会出现悖论的。中国数学是在实际应用中产生的，故以实际应用为衡量正确与错误等的标准，所以并不重视数学逻辑演绎或证明的作用。