#503. 「LibreOJ β Round」ZQC 的课堂 容斥原理+Treap

题目:

题解:

比较容易发现 : \(x,y\) 的贡献是独立的。
所以可以分开考虑。
假设我们考虑 \(x\).向量在 \(x\) 方向的投影依次是 : \(\{a_1,a_2, ... ,a_n\}\)
那么在点 \(i\) 时候的 \(x\) 坐标即 : \(1 + \sum_{k=1}^ia_i\)，设 \(s_i = \sum_{k=1}^ia_i\)
那么贡献即 : \(\sum_{i=1}^[(1+s_{i-1})*(1+s_i) < 0]\)
也就是 : \(\sum_{i=1}^n [max\{s_i,s_{i-1}\}>0 \space \space \&\& \space \space min\{s_i,s_{i-1}\} < 0]\)
考虑容斥原理，我们可以得到 :

\[n - \sum_{i=1}^n[max\{s_i,s_{i-1}\}<0] - \sum_{i=1}^n[min\{s_i,s_{i-1}\}>0] \]

还有 :
\(\sum_{i=1}^n [max\{s_i,s_{i-1}\}<0 \space \space \&\& \space \space min\{s_i,s_{i-1}\} > 0]\) \(?\)
不存在的

所以用 Splay 支持单点修改,区间加上一个数和统计小于/大于零的数的个数。
分别维护即可。

后来又去写才发现自己想简单了。
按照序列序插入做和按照权值插入做都不能简单的直接应用到全局。
正确的姿势是维护一个偏移量，表示插入到Treap中的点和实际上的点偏差了多少。

所以我们可以只将操作指针右侧的点全部插入到Treap中，并且在外面记录所有在Treap中的元素与实际的相差了多少。
怎么处理每个元素实际上的偏差并不是全局的偏差？
插入的时候让这个元素向反方向偏移一下再插入，然后就可以保证所有Trie中的元素偏移量都一样了。
对于所有指针左边的点，我们知道我们修改的时候不会对左边的东西造成任何影响。
所以可以直接维护终坐标和在这段时间内跨越坐标轴的次数。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pa;
inline void read(int &x){
	x=0;static char ch;static bool flag;flag = false;
	while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true;
	while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x;
}
#define rg register int
#define rep(i,a,b) for(rg i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(rg i=(a);i>=(b);--i)
#define mk(x,y) make_pair(x,y)
#define fst first
#define snd second
const int maxn = 100010;
struct Treap{
	struct Node{
		Node *ch[2];
		int w,siz,fix;
		void update(){
			siz = ch[0]->siz + ch[1]->siz + 1;
		}
	}*root,mem[maxn],*it,*null;
	Node *ws[maxn];int top;
	inline void init(){
		it = mem;null = it ++ ;
		null->ch[0] = null->ch[1] = null;
		null->siz = 0;null->fix = 0x3f3f3f3f;
		root = null;
	}
	inline Node* newNode(int x){
		Node *p = top ? ws[top--] : it ++ ;
		p->ch[0] = p->ch[1] = null;
		p->siz = 1;p->fix = rand();
		p->w = x;return p;
	}
	inline void rotate(Node* &p,int k){
		Node *x = p->ch[k^1];
		p->ch[k^1] = x->ch[k];
		x->ch[k] = p;
		p->update();x->update();
		p = x;return ;
	}
	void insert(Node* &p,int x){
		if(p == null){
			p = newNode(x);
			return ;
		}insert(p->ch[x >= p->w],x);
		if(p->ch[x>=p->w]->fix < p->fix)
			rotate(p,x<p->w);
		p->update();
	}
	void erase(Node* &p,int x){
		if(p->w == x){
			if(p->ch[0] != null && p->ch[1] != null){
				int k = p->ch[0]->fix < p->ch[1]->fix;
				rotate(p,k);
				erase(p->ch[k],x);
			}else{
				Node *y = p->ch[0] != null ? p->ch[0] : p->ch[1];
				ws[++top] = p;p = y;
			}
		}else erase(p->ch[x >= p->w],x);
		if(p != null) p->update();
	}
	inline void insert(int x){insert(root,x);}
	inline void erase(int x){erase(root,x);}
	inline int les(int x){
		Node *p = root;
		int res = 0;
		while(p != null){
			if(p->w > x) p = p->ch[0];
			else res += p->ch[0]->siz + 1,p = p->ch[1];
		}return res;
	}
	inline int gre(int x){
		Node *p = root;
		int res = 0;
		while(p != null){
			if(p->w < x) p = p->ch[1];
			else res += p->ch[1]->siz + 1,p = p->ch[0];
		}return res;
	}
	Treap(){init();}
}zsx[2],zsy[2];
pa a[maxn];
int X,Y,dx,dy,pot,n,ansx,ansy;
inline void move_right(){
	if(pot == n) return ;++ pot;
	zsx[0].erase(min(X-dx,X+a[pot].fst-dx));
	zsy[0].erase(min(Y-dy,Y+a[pot].snd-dy));
	zsx[1].erase(max(X-dx,X+a[pot].fst-dx));
	zsy[1].erase(max(Y-dy,Y+a[pot].snd-dy));
	if(X*(X+a[pot].fst) < 0) ++ ansx;
	if(Y*(Y+a[pot].snd) < 0) ++ ansy;
	X += a[pot].fst;Y += a[pot].snd;
}
inline void move_left(){
	if(pot == 1) return ;
	X -= a[pot].fst;Y -= a[pot].snd;
	if(X*(X+a[pot].fst) < 0) -- ansx;
	if(Y*(Y+a[pot].snd) < 0) -- ansy;
	zsx[0].insert(min(X-dx,X+a[pot].fst-dx));
	zsy[0].insert(min(Y-dy,Y+a[pot].snd-dy));
	zsx[1].insert(max(X-dx,X+a[pot].fst-dx));
	zsy[1].insert(max(Y-dy,Y+a[pot].snd-dy));
	-- pot;
}
inline void modify(){
	int x,y;read(x);read(y);
	if(X*(X-a[pot].fst) < 0) -- ansx;
	if(Y*(Y-a[pot].snd) < 0) -- ansy;
	X += x - a[pot].fst;
	Y += y - a[pot].snd;
	dx += x - a[pot].fst;
	dy += y - a[pot].snd;
	a[pot] = mk(x,y);
	if(X*(X-x) < 0) ++ ansx;
	if(Y*(Y-y) < 0) ++ ansy;
}
inline int query(){
	int res = n - pot - zsx[0].gre(-dx) - zsx[1].les(-dx) + 
		n - pot - zsy[0].gre(-dy) - zsy[1].les(-dy);
	return res + ansx + ansy;
}
int main(){
	srand(2619520);
	int q;read(n);
	X = Y = 1;
	rep(i,1,n){
		read(a[i].fst);read(a[i].snd);
		zsx[0].insert(min(X,X+a[i].fst));
		zsy[0].insert(min(Y,Y+a[i].snd));
		zsx[1].insert(max(X,X+a[i].fst));
		zsy[1].insert(max(Y,Y+a[i].snd));
		X += a[i].fst;Y += a[i].snd;
	}X = Y = 1;
	move_right();read(q);
	char ch;
	while(q--){
		while(ch=getchar(),ch<'!');
		if(ch == 'B') move_left();
		else if(ch == 'F') move_right();
		else if(ch == 'C') modify();
		else printf("%d\n",query());
	}
	return 0;
}