51nod1312 最大异或和

 

题目来源： TopCoder

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 320 

有一个正整数数组S，S中有N个元素，这些元素分别是S[0],S[1],S[2]...,S[N-1]。现在你可以通过一个操作来更新数组。操作方法如下：

选择两个不同的数i、j（0<=i,j<N 且 i!=j），先计算A = S[i] xor S[j], B = S[j]。然后用A、B替换S[i]，S[j]，即 S[i]=A , S[j]=B。其中xor表示异或运算。

你可以进行任意多次操作，问最后生成的数组S的元素和 SUM = S[0]+S[1]+S[2]+...+S[N-1] 最大可能值是多少。输出这个最大值。

 

例如：S = {1,0}，去A = S[1] xor S[0] = 1,B = S[0] = 1,新的S={1,1}，SUM = 1+1 = 2.

Input

第一行一个整数N，且1<=N<=50
接下来N行每行一个整数S[i]，且0<=S[i]<=1,000,000,000,000,000 (10^15)

Output

一个整数，即最后集合可能的最大值SUM。

Input示例

3
1
2
3

Output示例

8

 

数学问题 线性基 贪心

显然就是线性基。

假设我们需要k个数来搞出线性基，那么有n-k个数可以取到异或空间里的最大值max。

这k个数线性无关，为了使他们最大，我们先把它们消到尽可能小，再异或max。

↑把得到的n个数累加起来就是答案。

 

秒题三分钟，写题一小时？exm？

动态维护线性基看上去并没有问题，然而交上去无限WAWAWA。

然后突然意识到年初的时候和Sfailsth讨论过的问题：高斯消元得到的线性基向量一定是该位为1的所有可能得到的向量中最小的，而动态维护线性基得到不一定是最小的。

丢一个链接：http://www.cnblogs.com/SfailSth/p/6220328.html

 

于是手动把线性基向量消到最小，AC

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int mxn=65;
LL read(){
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
LL a[mxn],b[mxn],f[mxn];
int main(){
    int i,j;
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++)a[i]=b[i]=read();
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=62;j>=0;j--){
            if((b[i]>>j)&1){
                if(!f[j]){f[j]=b[i];break;}
                b[i]^=f[j];
            }
        }
    LL mx=0;int cnt=0;
    for(i=62;i>=0;i--)
        if(f[i]){
            if((mx^f[i])>mx){mx^=f[i];}
            cnt++;
        }
    LL ans=0;
    ans+=mx*(n-cnt+1);
    cnt--;
    for(i=0;cnt && i<=62;i++){
        if(f[i]){
            for(int j=i-1;j>=0;j--){
                if(f[j] && ((f[i]>>j)&1)){
                    f[i]^=f[j];
                }
            }
            ans+=mx^f[i];
            cnt--;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}