DP的四边形优化

DP的四边形优化

一、进行四边形优化需要满足的条件

　　1、状态转移方程如下：

　　　　

　　　　　　m(i,j)表示对应i,j情况下的最优值。

　　　　　　w(i,j)表示从i到j的代价。

　　　　　　例如在合并石子中：

　　　　　　　　m(i,j)表示从第i堆石子合并到j堆石子合并成一堆的最小代价。

　　　　　　　　w(i,j)表示从第i堆石子到第j堆石子的重量和。

　　2、函数w满足区间包含的单调性和四边形不等式

　　　　　　　

 

二、满足上述条件之后的两条定理

　　1、假如函数w满足上述条件，那么函数m 也满足四边形不等式，即

　　　　

　　　　例如:

　　　　　　　　假如有：w(1, 3) + w(2, 4) £ w(2, 3) + w(1, 4)，

　　　　　　　　m(1, 3) + m(2, 4) £ m(2, 3) + m(1, 4)，

 

　　2、假如m(i, j)满足四边形不等式，那么s (i, j)单调，即：

　　　　

 

三、如何使用

　　运用上面两条定理，可以将最上面的DP状态转移方程变为如下：

　　　　

 

四、具体应用

　　用四边形优化将合并石子(直线型)的时间复杂度化为 O(n*n)

　　

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int INF = 1 << 30;
const int N = 1005;

int dp[N][N];
int p[N][N];
int sum[N];
int n;

int getMinval()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        dp[i][i] = 0;
        p[i][i] = i;
    }
    for(int len=1; len<n; len++)
    {
        for(int i=1; i+len<=n; i++)
        {
            int end = i+len;
            int tmp = INF;
            int k = 0;
            for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++)
            {
                if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1] < tmp)
                {
                    tmp = dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1];
                    k = j;
                }
            }
            dp[i][end] = tmp;
            p[i][end] = k;
        }
    }
    return dp[1][n];
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        sum[0] = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            int val;
            scanf("%d",&val);
            sum[i] = sum[i-1] + val;
        }
        printf("%d\n",getMinval());
    }
    return 0;
}

 

上述代码具体在内存中的运行过程：