♔Renascence_5

摘要： 1.Table of Integrals,Series and Products , Eighth Edition , I.S.Gradshteyn, I.M.Ryzhik 这就是众所周知的"积分大典"，也是最新版，包含了巨量的积分公式，绝对是值得拥有的，遗憾的是只有公式，没有证明，当然，在书的开头 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln\left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right )}{x}\mathrm{d}x$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ 注意到： $$\int_{0}^{1}\frac{\ln\ 阅读全文

摘要： 原文地址：http://spaces.ac.cn/archives/3154/ 原文作者：苏剑林 标准思路 简单来说，$n$维球体积就是如下$n$重积分 $$V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_ 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \int^{\infty}_{0}\frac{\tanh\left(\, x\,\right)} {x\left[\, 1 2\cosh\left(\, 2x\,\right)\,\right]^{2}}\,{\rm d}x$$ $\Large\mathb 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \int_0^\infty{_3F_2}\left(\begin{array}c\dfrac58,\dfrac58,\dfrac98\\\dfrac12,\dfrac{{13}}8\end{array}\middle|\ { x}\right)^2\fra 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \int_0^\infty\frac{\ln\left(1+x+\sqrt{x^2+2\,x}\right)\,\ln\left(1+\sqrt{x^2+2\,x+2}\right)}{x^2+2x+1}\mathrm dx$$ $\Large\mathb 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle\int_0^\infty\frac{\ln\left(\displaystyle\frac{1+x^{4+\sqrt{15\vphantom{\large A}}}}{1+x^{2+\sqrt{3\vphantom{\large A}}}}\right)} 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \int_0^1\frac{\ln x\ln^2(1+x)}{x}\ \mathrm dx$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ $$\begin{align } \int_0^1\frac{\ln x\ln^2(1+x)}{x}\ \ 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \int_0^{\pi/2}\ln^2(\sin x)\ln(\cos x)\tan x \,{\rm d}x$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ Let $J$ donates the integral and it is easy 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x^{2}\ln\left ( \sin x \right )\ln\left ( \cos x \right )\mathrm{d}x$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ Tools 阅读全文

摘要： 链接：http://pan.baidu.com/s/1eSNkz4Y window._bd_share_config={"common":{"bdSnsKey":{},"bdText":"","bdMini":"2","bdMiniList":false,"bdPic":"","bdStyle":" 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{2n}}{n(6n+1)}$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ Let $S$ denote the sum. Then $$\begin{align } S=\sum_{n=1 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\widetilde{H_n}}{n^{3}}$$ where $\widetilde{H_n}$ is the alternating harmonic number. $\Large\mathbf{S 阅读全文

摘要： $$\sum_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^3}}}} \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( { 1} \right)}^{k 1}}}}{k}} } \right) = \frac{7}{4}\zeta \left 阅读全文

摘要： 计算下面两个积分的比值： $$\Large\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+t^{4}}}\mathrm{d}t~,~\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1 t^{4}}}\mathrm{d}t$$ $\Large\mathbf{ 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln\left ( 1+x^{2} \right )}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ 方法一： 考虑含参积分 $$\mathcal{I}\left ( 阅读全文