欧拉函数讲解

 1.0 欧拉函数的定义

1.1 欧拉函数解决的问题

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？

 

比如说: 

n=10   与n互质的数就有 : 1,3,7,9. 

所以φ(10)=4;

 

1.2 欧拉函数的计算公式

 n 需要被拆成诸如此类的形式:

其中 p 均为质数.

 

然后如图,这就是欧拉函数的计算公式. 

 

2.0 欧拉函数公式的推导

虽然公式会显得比较简单,但是欧拉函数公式需要一步一步去推导.

对此,我们需要分情况讨论.

2.1  n=1

此时 φ(1)=1 . 因为 1 与任何数都互质  (包括自身) .

 

2.2  n为质数

此时 φ(n)= n-1 ; 很显然.

 

2.3 n=p^k.

此时则 有如下公式 :

如何去思考这种情况呢 ？

易知,若 k=1 则 φ(n) = n-1;

那么,若 k=2 则在原来的 n-1 的数列中 会多了一个 k 与其不互质.

那么也就是说,我当前这个序列中,与n互质的当且仅有 p 的倍数.

所以 p^k 中含有的 p 的倍数的个数(包括自己) 即为 p^k / p ,也就是 p^(k-1).

 

* 2.4 n 可以写成两个互质的数的乘积.

这个证明是整个公式的关键所在.

此时即 n 可以写成 

p1 X p2

此时我们则有公式 :

φ(n) = φ(p1 X p2) = φ(p1) X φ(p2)

此时我们是怎么推导出来的呢 ?

此时可以知道只有那些既满足 p1 与其互质且满足 p2 与其互质的数满足条件.

根据乘法原理.这样的数可以互相组合.那么就有 φ(a)⋅φ(b) 个.

 

2.5 最后公式的推导.

引理 :

任意一个大于 1 的正整数, 都可以写成诸如 p1^k1 X p2^k2 ... pi^ki 的形式.

 

 

然后根据 2.4 我们有:

 

 

再根据 2.3 我们有:

 

于是再化简,我们便有了 1.1 开头的式子.

 

2.6 例题

这里就有一道,是比较裸的欧拉函数.不过要看的出来才行.

本蒟蒻也有题解在此.

3.0 后续

这一篇只介绍了欧拉函数及欧拉函数的求法.

日后更多的性质及运用蒟蒻博主会填坑的.