nowcoder 272 F. Friendly Polynomial

设一个长度为 $n$ 的排列是合法的，当且仅当 $\exists i \in [1,n-1]$，使得 $a_1, a_2, \cdots , a_i$ 恰好构成一个 $1 \sim i$ 的排列

分别求出长度为 $1 \sim n$ 的合法排列数

输出对 $998244353$ 取模

$3 \le n \le 10^5$

大概就是多项式理论那一类的吧……

设 $f_n$ 表示长度为 $n$ 的合法排列数

计数的时候只在一个最大的 $i$ 处计数，即只在 $a_1 \sim a_i$ 是个排列，且 $a_{i+1} \sim a_{n}$ 不是个排列的时候进行计数

显然有：

$$
f_n=\sum_{i=1}^{n-1}i!\left((n-i)!-f_{n-i}\right)
$$

$i!$ 表示强行钦定 $i$ 是最大的可行的，然后剩余的 $n-i$ 个位置一定是不可行的，即总方案减去合法方案

考虑如何计算这个式子：

$$
\begin{aligned}
f_n
=&\sum_{i=1}^{n-1}i!\left((n-i)!-f_{n-i}\right) \\
=&\left(\sum_{i=1}^{n-1}i!(n-i)!\right)-\left(\sum_{i=1}^{n-1}i!f_{n-i}\right) \\
\end{aligned}
$$

发现这里还不好搞事情……或者说用分治 $FFT$ 似乎也可以……

不妨钦定 $0!=0$，这样就方便搞事情了，上面那个式子就相当于：

$$
f_n=\left(\sum_{i=0}^{n}i!(n-i)!\right)-\left(\sum_{i=0}^{n}i!f_{n-i}\right) \\
$$

这个是啥？设 $g(n)=n!$，也就是说：

$$
f=g^2-g \times f
$$

化简一下就是：

$$
f=\frac{g^2}{1+g}
$$

然后由于 $g$ 是已知的，于是只需要去搞一个多项式求逆的板子就行了

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 4e6 + 10;
const ll p = 998244353;
const ll g[2] = { 3, (p + 1) / 3};
ll a[N], b[N], f[N]; int n, m;
ll pw(ll a, ll b) {
    ll r = 1;
    for( ; b ; b >>= 1, a = a * a % p) if(b & 1) r = r * a % p;
    return r;
}
ll inv(ll x) {
    return pw(x, p - 2);
}
int rev(int x, int n) {
    int r = 0;
    for(int i = 0 ; (1 << i) < n ; ++ i) r = (r << 1) | ((x >> i) & 1);
    return r;
}
void ntt(ll *a, int n, int t) {
    for(int i = 0 ; i < n ; ++ i) f[rev(i, n)] = a[i];
    for(int i = 2 ; i <= n ; i <<= 1) {
        ll wn = pw(g[t], (p - 1) / i);
        for(int j = 0 ; j < n ; j += i) {
            ll w = 1;
            for(int k = j ; k < j + i / 2 ; ++ k) {
                ll u = f[k], v = w * f[k + i / 2] % p;
                f[k] = (u + v) % p, f[k + i / 2] = ((u - v) % p + p) % p;
                w = w * wn % p;
            }
        }
    }
    for(int i = 0 ; i < n ; ++ i) {
        a[i] = f[i] % p;
        if(t) a[i] = a[i] * inv(n) % p;
    }
}

ll t[N], aa[N], h[N];

void sol(int n) {
    if(n == 1) {
        b[0] = inv(a[0]);
    } else {
        sol((n + 1) / 2);
        for(int i = 0 ; i < n ; ++ i) t[i] = 2 * b[i] % p, aa[i] = a[i];
        int len = 1; while(len <= 2 * n) len <<= 1;
        for(int i = n ; i <= len ; ++ i) aa[i] = 0;
        ntt(aa, len, 0), ntt(b, len, 0);
        for(int i = 0 ; i < len ; ++ i) h[i] = aa[i] * b[i] % p * b[i] % p;
        ntt(h, len, 1);
        for(int i = 0 ; i < n ; ++ i) b[i] = ((t[i] - h[i]) % p + p) % p;
        for(int i = n ; i < len ; ++ i) b[i] = 0;
    }
}

ll poi[N], fac[N];
const int mod = p;

void init(int n) {
    fac[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= n ; ++ i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    
    const int len = 2 * 262144;
    for(int i = 0 ; i <= n ; ++ i) {
        a[i] = fac[i];
    }
    a[0] ++;
    sol(n);
    a[0] --;
    ntt(a, len, 0);
    ntt(b, len, 0);
    for(int i = 0 ; i < len ; ++ i) a[i] = a[i] * a[i] % mod * b[i] % mod;
    ntt(a, len, 1);
}

int main() {
    init(1e5);
    int t; scanf("%d", &t);
    while(t --) {
        int x; scanf("%d", &x);
        printf("%lld\n", (a[x] + mod) % mod);
    }
}