浅谈差分约束系统

　　花了很长时间，终于把差分约束搞清楚了……

　　当我们在一个图上跑SPFA或DIJKSTRA时，我们能够得到什么？得到的是单源最短（长）路，也就是∀v的min（max）{dis[v]-dis[s]}，dis[s]是一个全局的“偏移量”，只是通常dis[s]为0而我们未有察觉而已。

　　考虑为什么跑出来就能得到这样的结果，是因为有一种叫做“松弛操作”的东西。也就是说，如果u到v有一条边其权为w，就可以得到dis[u]+w≤（≥）dis[v]，移项得到dis[v]-dis[u]≥（≤）w。因为一条路上一环衔一环，所以联立一条路就能得到dis[v]-dis[s]≥（≤）……。因为路有很多条，再度联立就能得到相应的最值。

　　后人根据图上如此的性质，发现了差分约束系统。差分是什么？就是我刚才说的“一条路上一环衔一环”。约束是什么？就是构成“每一环”的约束边dis[u]+w≤（≥）dis[v]。在差分约束系统上跑最短（长）路，也就会得到∀v的min（max）{dis[v]-dis[s]}，这是大多数问题叫我们求的。因为min{x[t]-x[s]}与max{x[s]-x[t]}互为相反数，所以既可以从s开始跑最长路，也可以从t开始跑最短路。

　　你或许会说，反了反了！但是，事实总是超出我们预料的。就像二分图中，最小边覆盖 = 最大独立集=n-最大匹配。在这里，合法的最小解就是约束图上的最长路，合法的最大解就是约束图上的最短路。

　　为什么？在这里，依仗“元神”是不行的。因为我们不能这么“唯心”，要用“唯物”的方法动自己的脑子。

　　最后需要注意的是，DIJKSTRA跑起来会很有问题，因为贪心的基础不存在了。