[bzoj1025][SCOI2009]游戏 (分组背包)

Description

windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一 且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一 排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。 如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 6 3 1 2 4 5 6 1 2 3 5 4 6 2 3 1 4 5 6 3 1 2 5 4 6 1 2 3 4 5 6 这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

Input

包含一个整数，N。

Output

包含一个整数，可能的排数。

Sample Input

【输入样例一】
3
【输入样例二】
10

Sample Output

【输出样例一】
3
【输出样例二】
16

HINT

【数据规模和约定】

100%的数据，满足 1 <= N <= 1000 。

分析

     要用到一点点群论的知识：一个置换可以分解成若干个不相交循环的乘积，且这个置换的阶数就等于各个循环的元素个数的最小公倍数。

     那么我们要考虑的问题变成了：将N划分成若干个整数的和，这些整数的最小公倍数共有多少种取值？

     先考虑一个整数的唯一分解$M=\prod {p_i} ^ {a_i}$，如果它在答案中，则$S = \sum {p_i} ^ {a_i}$一定在N以内。因为对于一个不大于N的整数的任何一个满足最大公约数大于1的整数划分，我们将每个整数中重复的质因子除去，得到的一组两两互质的整数，它们的和也一定不大于N，且它们的最小公倍数不变。因此我们只需计算出N以内这些两两互质的整数划分的方案树就可以了。简单来说，就是“要用一个整数划分凑出某个确定的最小公倍数，最‘节约’的方案是用这个最小公倍数的唯一分解”。

     具体地，我们可以先筛出N以内的所有素数，对于每种素数只能选择其中的一个幂次乘入答案，求一下分组背包就可以了。

 

 1 /**************************************************************

 2     Problem: 1025

 3     User: AsmDef

 4     Language: C++

 5     Result: Accepted

 6     Time:4 ms

 7     Memory:824 kb

 8 ****************************************************************/

 9  

 /***********************************************************************/

 /**********************By Asm.Def-Wu Jiaxin*****************************/

 /***********************************************************************/

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #include <cstdlib>

 #include <ctime>

 #include <cctype>

 #include <algorithm>

 #include <cmath>

 using namespace std;

 typedef long long LL;

 #define SetFile(x) ( freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout) )

 #define getc() getchar()

 template<class T>inline void getd(T &x){

     char ch = getc();bool neg = false;

     while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();

     if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;

     x = ch - '0';

     while(isdigit(ch = getc()))x = x * 10 - '0' + ch;

     if(neg)x = -x;

 }

 inline void putLL(LL x){

     if(x < 1000000000){printf("%d\n", x);return;}

     int l = x / 1000000000, r = x % 1000000000;

     printf("%d%09d\n", l, r);

 }

 /***********************************************************************/

 const int maxn = 1010;

 int prime[maxn], pcnt, N;

 LL F[maxn], tmp[maxn];

 inline void euler(){

     bool not_p[maxn] = {0};

     int i, j;

     for(i = 2;i <= N;++i){

         if(!not_p[i])prime[++pcnt] = i;

         for(j = 1;j <= pcnt;++j){

             if(i * prime[j] > N)break;

             not_p[i * prime[j]] = true;

             if(i % prime[j] == 0)break;

         }

     }

 }

  

 inline void work(){

     getd(N);

     euler();

     //for(int i = 1;i <= pcnt;++i)printf("%d\n", prime[i]);

     int i, j, p, d;

     LL ans = 1;

     F[0] = 1;

     for(i = 1;i <= pcnt;++i){

         p = prime[i];

         memcpy(tmp, F, sizeof(F));

         for(d = p;d <= N;d *= p)

             for(j = d;j <= N;++j)F[j] += tmp[j-d];

     }

     for(i = 1;i <= N;++i) ans += F[i];

     putLL(ans);

 }

  

 int main(){

  

 #ifdef DEBUG

     freopen("test.txt", "r", stdin);

 #elif !defined ONLINE_JUDGE

     //SetFile(bzoj_1025);

 #endif

     work();

  

 #ifdef DEBUG

     //printf("\n%.2lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);

 #endif

     return 0;

 }