浅谈压缩感知（二十五）：压缩感知重构算法之分段正交匹配追踪（StOMP）

主要内容：

StOMP的算法流程
StOMP的MATLAB实现
一维信号的实验与结果
门限参数Ts、测量数M与重构成功概率关系的实验与结果

一、StOMP的算法流程

分段正交匹配追踪(Stagewise OMP)也是由OMP改进而来的一种贪心算法，与CoSaMP、SP算法类似，不同之处在于CoSaMP、SP算法在迭代过程中选择的是与信号内积最大的2K或K个原子，而StOMP是通过门限阈值来确定原子。此算法的输入参数中没有信号稀疏度K，因此相比于ROMP及CoSaMP有独到的优势（这句话存在疑问）。

StOMP的算法流程：

二、StOMP的MATLAB实现(CS_StOMP.m)

function [ theta ] = CS_StOMP( y,A,S,ts )
%   CS_StOMP
%   Detailed explanation goes here
%   y = Phi * x
%   x = Psi * theta
%    y = Phi*Psi * theta
%   令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta
%   S is the maximum number of StOMP iterations to perform
%   ts is the threshold parameter
%   现在已知y和A，求theta
%   Reference:Donoho D L，Tsaig Y，Drori I，Starck J L．Sparse solution of
%   underdetermined linear equations by stagewise orthogonal matching 
%   pursuit[J]．IEEE Transactions on Information Theory，2012，58(2)：1094—1121
    if nargin < 4
        ts = 2.5; %ts范围[2,3],默认值为2.5
    end
    if nargin < 3
        S = 10; %S默认值为10
    end
    [y_rows,y_columns] = size(y);
    if y_rows<y_columns
        y = y'; %y should be a column vector
    end
    [M,N] = size(A); %传感矩阵A为M*N矩阵
    theta = zeros(N,1); %用来存储恢复的theta(列向量)
    pos_num = []; %用来迭代过程中存储A被选择的列序号
    res = y; %初始化残差(residual)为y
    for ss=1:S %最多迭代S次
        product = A'*res; %传感矩阵A各列与残差的内积
        sigma = norm(res)/sqrt(M); %参见参考文献第3页Remarks(3)
        Js = find(abs(product)>ts*sigma); %选出大于阈值的列
        Is = union(pos_num,Js); %pos_num与Js并集
        if length(pos_num) == length(Is)
            if ss==1
                theta_ls = 0; %防止第1次就跳出导致theta_ls无定义
            end
            break; %如果没有新的列被选中则跳出循环
        end
        %At的行数要大于列数，此为最小二乘的基础(列线性无关)
        if length(Is)<=M
            pos_num = Is; %更新列序号集合
            At = A(:,pos_num); %将A的这几列组成矩阵At
        else %At的列数大于行数，列必为线性相关的,At'*At将不可逆
            if ss==1
                theta_ls = 0; %防止第1次就跳出导致theta_ls无定义
            end
            break; %跳出for循环
        end
        %y=At*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)
        theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y; %最小二乘解
        %At*theta_ls是y在At列空间上的正交投影
        res = y - At*theta_ls; %更新残差
        if norm(res)<1e-6 %Repeat the steps until r=0
            break; %跳出for循环
        end
    end
    theta(pos_num)=theta_ls; %恢复出的theta
end

三、一维信号的实验与结果

%压缩感知重构算法测试
clear all;close all;clc;
M = 64; %观测值个数
N = 256; %信号x的长度
K = 12; %信号x的稀疏度
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,1);
x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1); %x为K稀疏的，且位置是随机的
Psi = eye(N); %x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
Phi = randn(M,N)/sqrt(M); %测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi; %传感矩阵
y = Phi * x; %得到观测向量y

%% 恢复重构信号x
tic
theta = CS_StOMP(y,A);
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
toc

%% 绘图
figure;
plot(x_r,'k.-'); %绘出x的恢复信号
hold on;
plot(x,'r'); %绘出原信号x
hold off;
legend('Recovery','Original')
fprintf('\n恢复残差：');
norm(x_r-x) %恢复残差

四、门限参数ts、测量数M与重构成功概率关系的实验与结果

clear all;close all;clc;

%% 参数配置初始化
CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数
N = 256;%信号x的长度
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
ts_set = 2:0.2:3;
K_set = [4,12,20,28,36];%信号x的稀疏度集合
Percentage = zeros(N,length(K_set),length(ts_set));%存储恢复成功概率

%% 主循环，遍历每组(ts,K,M,N)
tic
for tt = 1:length(ts_set)
    ts = ts_set(tt);
    for kk = 1:length(K_set)
        K = K_set(kk);%本次稀疏度
        %M没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了
        M_set=2*K:5:N;
        PercentageK = zeros(1,length(M_set));%存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率
        for mm = 1:length(M_set)
           M = M_set(mm);%本次观测值个数
           fprintf('ts=%f,K=%d,M=%d\n',ts,K,M);
           P = 0;
           for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次
                Index_K = randperm(N);
                x = zeros(N,1);
                x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的                
                Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵
                A = Phi * Psi;%传感矩阵
                y = Phi * x;%得到观测向量y
                theta = CS_StOMP(y,A,10,ts);%恢复重构信号theta
                x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
                if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
                    P = P + 1;
                end
           end
           PercentageK(mm) = P/CNT*100;%计算恢复概率
        end
        Percentage(1:length(M_set),kk,tt) = PercentageK;
    end
end
toc
save StOMPMtoPercentage1000 %运行一次不容易，把变量全部存储下来

%% 绘图
for tt = 1:length(ts_set)
    S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
    figure;
    for kk = 1:length(K_set)
        K = K_set(kk);
        M_set=2*K:5:N;
        L_Mset = length(M_set);
        plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,tt),S(kk,:));%绘出x的恢复信号
        hold on;
    end
    hold off;
    xlim([0 256]);
    legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36');
    xlabel('Number of measurements(M)');
    ylabel('Percentage recovered');
    title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,ts=',...
        num2str(ts_set(tt)),')(Gaussian)']);
end
for kk = 1:length(K_set)
    K = K_set(kk);
    M_set=2*K:5:N;
    L_Mset = length(M_set);
    S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*';'-k+'];
    figure;
    for tt = 1:length(ts_set)
        plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,tt),S(tt,:));%绘出x的恢复信号
        hold on;
    end
    hold off;
    xlim([0 256]);
    legend('ts=2.0','ts=2.2','ts=2.4','ts=2.6','ts=2.8','ts=3.0');
    xlabel('Number of measurements(M)');
    ylabel('Percentage recovered');
    title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,K=',...
        num2str(K),')(Gaussian)']);    
end