Intervals II

题目描述

You are given n closed, integer intervals [ai, bi] and n integers c1, ..., cn. 
Write a program that: 

• reads the number of intervals, their end points and integers c1, ..., cn from the standard input, 
• computes the minimal size of a set Z of integers which has at least ci common elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,...,n, 
• writes the answer to the standard output.

输入

The first line of the input contains an integer n (1 <= n <= 50000) -- the number of intervals. The following n lines describe the intervals. The (i+1)-th line of the input contains three integers ai, bi and ci separated by single spaces and such that 0 <= ai <= bi <= 50000 and 1 <= ci <= bi - ai+1.

输出

The output contains exactly one integer equal to the minimal size of set Z sharing at least ci elements with interval [ai, bi], for each i=1,2,...,n.

样例输入

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5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1

样例输出

6

 题意：求符合题意的最小集合的元素个数  
题目要求的是求的最短路，  
则对于 不等式  f(b)-f(a)>=c,建立 一条 b 到 a 的边 权值为 c,则求的最长路 即为 最小值(集合)  
并且有隐含条件：0<=f(a)-f(a-1)<=1  则有边权关系(a,a-1,0)以及(a-1,a,-1);  
将源点到各点的距离初始化为INF(无穷大)，其中之1为0，最终求出的最短路满足 它们与该点之间相互差值最大  
差分约束  
　在实际的应用中，一般使用SPFA(Shortest Path Fast Algorithm)算法来实现。  
　　差分约束系统中源点到每个点的距离确定  
　　关于Dist[]的初始化化  
　　1.如果将源点到各点的距离初始化为0，最终求出的最短路满足 它们之间相互最接近了  
　　2.如果将源点到各点的距离初始化为INF(无穷大)，其中之1为0，最终求出的最短路满足 它们与该点之间相互差值最大。  
　　3.差分约束系统的确立要根据自己确定的约束条件，从约束点走向被约束点  
　　连边一般有两种方法，第一种是连边后求最长路的方法，第二种是连边后求最短路的方法。  
　　例：d[x]-d[y]>=Z  
　　如果想连边后求最长路 那么将不等式变形为这种形式 d[x]>=d[y]+z y---x连一条权值为z的边  
　　求最短路则变形成d[y]<=d[x]-z x---y连一条权值为-z的边。  
　　如果是别的不等式，也可以根据情况变形。但是要保证的是 两个变量（x,y)的系数一定要是正的。而常量则不一定。  
第一：  
感觉难点在于建图  
第二：  
①：对于差分不等式，a - b <= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最短路，得到的是最大值  
②：对于不等式 a - b >= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最长路，得到的是最小值  
③：存在负环的话是无解  
④：求不出最短路（dist[ ]没有得到更新）的话是任意解  
第三：  
一种建图方法：  
设x[i]是第i位置（或时刻）的值（跟所求值的属性一样），那么把x[i]看成数列，前n项和为s[n]，则x[i] = s[i] - s[i-1]；  
那么这样就可以最起码建立起类似这样的一个关系：0 <= s[i] - s[i-1] <= 1;